Sección I
De los reales al plano: por qué extendemos los reales y cómo se ven geométricamente los complejos.
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Con los reales resolvemos $x^2 = a$ siempre que $a \ge 0$. Pero el cuadrado de todo real es positivo, así que $x^2 = -1$ no tiene solución real.
Para que toda ecuación polinómica tenga raíz, extendemos $\mathbb{R}$ a un cuerpo mayor. Suponemos construido un cuerpo que incluye a los reales y donde $x^2=-1$ sí tiene una raíz, a la que llamamos $i$:
$$ i^2 = -1 $$
Suponiendo que valen los axiomas de cuerpo (las reglas de siempre) y que $i^2=-1$, operamos como con binomios y volvemos a obtener un complejo de la forma $a+bi$:
$$ (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i $$
$$ (a+bi)(c+di) = ac+adi+bci+bd\,i^2 = (ac-bd)+(ad+bc)i $$
Como $z=a+bi$ queda determinado por el par $(a,b)$, lo representamos como el punto del plano de coordenadas $(a,b)$ —su afijo— o como el vector que une el origen con ese punto.
Al eje horizontal lo llamamos eje real y al vertical, eje imaginario: la parte real $a$ se mide sobre el eje real y la imaginaria $b$ sobre el imaginario. En el simulador que sigue podés explorarlo.
La suma y la resta tienen una interpretación geométrica sencilla por la regla del paralelogramo: el vector $z+w$ es una diagonal del paralelogramo de lados $z$ y $w$.
La diferencia $z-w$ es el vector paralelo por el origen a la otra diagonal de ese mismo paralelogramo. Equivale a sumar el opuesto, $z+(-w)$: en el simulador reflejamos $w$ en $-w$ (azul punteado) y el resultado queda en verde.
A partir de $i^2=-1$ (y multiplicando por $i$), las potencias naturales de $i$ se repiten en ciclos de cuatro:
$$ i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1,\;\dots $$
Para una potencia cualquiera alcanza con mirar el resto de dividir el exponente entre 4. Por ejemplo, $i^{71}=i^{17\cdot 4+3}=(i^4)^{17}\cdot i^3=i^3=-i$.