Sección IV
Acá los complejos dejan de ser números y pasan a ser transformaciones del plano. Vamos caso por caso, de lo simple a lo general.
Cada par $(\alpha,\beta)$ define una transformación que lleva el afijo de $z$ al de $f(z)=\alpha z+\beta$. Siempre es una combinación de trasladar, escalar y girar.
$f(z) = z + \beta$. Sumar siempre el mismo $\beta$ desliza todo el plano según el vector $\beta$. Todos los puntos se mueven igual; no hay punto fijo (salvo $\beta=0$).
$f(z) = \alpha z$ con $\alpha\in\mathbb{R}$. Estira o encoge desde el origen por el factor $\alpha$: $\alpha>1$ agranda, $0<\alpha<1$ achica, $\alpha<0$ además refleja por $O$. El centro $O$ queda fijo.
$f(z) = \alpha z$ con $|\alpha|=1$, es decir $\alpha = 1\angle\varphi$. Gira todo el plano el ángulo $\varphi$ alrededor de $O$, sin cambiar tamaños: cada punto recorre un círculo.
$f(z) = \alpha z$ con $\alpha = \rho\angle\varphi$ cualquiera. Combina los dos anteriores: gira $\varphi$ y escala $\rho$, ambos respecto de $O$. Los casos 2 y 3 son rotohomotecias particulares.
Con $\alpha\ne 1$ y $\beta\ne 0$, escribimos
$$ f(z) = \alpha(z - z_0) + z_0, \qquad z_0 = \frac{\beta}{1-\alpha} $$
Es la misma rotohomotecia, pero centrada en el punto fijo $z_0$ (el único punto que cumple $f(z_0)=z_0$). En el simulador, los presets reproducen cualquier caso anterior.
Como $f(z)=\alpha(z-z_0)+z_0$, aplicar $f$ una y otra vez genera una espiral alrededor de $z_0$. Si $|\alpha|<1$ converge a $z_0$; si $|\alpha|>1$ se aleja.
Ejemplo IV.2: con $f(z)=\tfrac{1}{2}i\,z+\tfrac{3+i}{2}$ ($|\alpha|=\tfrac12<1$), la órbita de $O$ tiende a $z_0=1+i$.